群論入門① 群の定義
ブログを始めたはいいけど書けるようなすごいネタを持っているわけではないので、日々の学びをメモ代わりに投稿しようと思った。
抽象代数の復習として雪江先生の「代数学１ 群論入門」の学習をスタート。
Xが集合のとき写像Φ:X×X→XをX上の演算とし、a,b∈Xに対し、Φ(a,b)=abと書く。
定義 1.1.1 （群）
Gを空でない集合とし、G上の演算が定義され以下の性質を満たすとき、Gを群(group)と呼ぶ。
(1) ∀a,∀b,∀c∈G, (ab)c=a(bc) (結合法則)
(2) ∃e∈G s.t. ∀a∈G, ae=ea=a, このようなeのことを単位元と呼ぶ。
(3) ∀a∈G, ∃b∈G s.t. ab=ba=e, このようなbをa^(-1)と表記しaの逆元と呼ぶ。
(1)のみを満たす集合を半群、(1),(2)を満たす集合をモノイドという。
群に関して上記の定義の演算を積といい、集合Gが群になるとき、Gに群の構造が入るという。
ここでさらに可換則： ∀a,∀b∈G, ab=ba が成り立つとき、Gをアーベル群、可換群などといい、演算を慣習上+と表すことが多い。この演算を積ではなく和と呼ぶこともある。この場合、単位元を0Gと書くこともある。
定義 1.1.2 （位数）
Gが群であるとき|G|を位数と呼ぶ。位数が有限な群を有限群、無限である群を無限群と呼ぶ。
以上が群の基本的な定義であり、群の例としてはC,R,Q,Zが和に関してアーベル群であり、C-{0},R-{0},Q-{0}が積に関してアーベル群である。実数成分を持つn×n正則行列全体の集合なども積に関して群であるなど...etc
これを受けて以下のいくつかの命題が簡単に導かれる。
命題 1.1.3
群Gに対し、a,b,c∈Gとする。すると以下の命題が成立。
(1) ab=ac⇒b=c (簡約法則)
(2) ab=c⇒a=cb^(-1), b=a^(-1) c
証明の方針
(1)はa^(-1)を左から両辺にかけよう、(2)はb^(-1)を両辺に右からかけたり、a^(-1)を両辺に左からかけたりする。
抽象代数になってもこの"移項"操作がやはり計算の基本であることがわかる。
命題 1.1.4
Gを群とする。
(1) Gの単位元は一意に定まる。
(2) a∈Gの逆元a^(-1)は一意に定まる。
(3) ∀a,∀b∈G, (ab)^(-1) = b^(-1) a^(-1)
(4) ∀a∈G, (a^(-1))^(-1)=e
証明
(1) eとe'をGの単位元とする。ee'=e,ee'=e'が成り立ち、e=e'
(2) bとcをaの逆元とする。ab=eが成り立ち、この両辺に左からcをかけると
cab=cだがca=eよりb=c
(3) b^(-1) a^(-1) ab = e
(4) (a^(-1))a = e
定義 1.1.5 （置換群）
集合Xに関しその全単射を置換と呼び、合成を積とするとXの置換全体の集合は群となる。このような群を置換群と呼ぶ。Xn = {1,2,...,n}のとき、Xnの置換をn次の置換と呼び、n次の置換全体が成す群をSnと表記し、n次対称群と呼ぶ。
またもう一つ重要な群として以下の一般線形群がある。
定義 1.1.6 （一般線形群）
Rを成分とするn×nの正則行列全体の集合は行列の積に関して群をなし、GLn(R)と書く。Cを成分とするn×nの正則行列全体についても同様で、GLn(C)と書く。これらを一般線形群と呼ぶ。
これにより群にまつわる基本的な用語が定義された。
書いてみた感想：分量としてはそこまで多くないはずだが、結構時間がかかる。
