宮寺関数解析を読む② Banach空間の例

Banach空間の例の紹介ののち、Hilbert空間が定義される。なぜLebesgue積分が解析学的に取り扱いやすいのかというのも、ここで定義される関数空間なんかを見るとわかったり。

☍2 Banach空間の例

☍1においてBanach空間が定義されたが、ここではBanach空間の例を見て行く。

2.1. 数列空間

例2.1.

空間 $R^ n$

$n$ 次元Euclid空間

各成分の二乗和の平方根をノルムとする。Minkowskiの不等式によって、三角不等式が示せる。

$(\sum^ {n} _ {i=1}|\xi _ i + \eta _ i|^ p)^ {1/p} \leq (\sum^ {n} _ {i=1}|\xi _ i|^ p)^ {1/p} + (\sum^ {n} _ {i=1}|\eta _ i|^ p)^ {1/p} (p \geq 1)$

さらにこれはノルムに関して完備。この証明は各成分が実数であるので、各成分に着目し実数の完備性を利用すればよい。

複素数も同様

例2.2.

実数列全体の集合は各項の和とスカラー倍を定義することで簡単に実線形空間にできる。

これの線形部分空間について考えていく。

収束実数列全体の集合を $(c)$ と書く。ノルムを数列の上限とすると、これは実Banach空間になる。完備性を示すにはこれも各成分に注目し、実数の完備性を利用して収束先の実数列が存在することを示す。さらに、その実数列が収束列であることを示せばよい。

例2.3. (空間 $l^ {p} (1 \leq p \lt \infty)$ )

$\sum^ {n} _ {i=1}|\xi _ i|^ p$ を満たす実数列 $x = \{\xi _ i\}$ 全体の集合。Minkowskiの不等式から実線形空間であることが分かる。ノルムを以下で定義する。

$||x|| = (\sum^ {n} _ {i=1}|\xi _ i|^ p)^ {1/p}$

これにより実Banach空間になる。Cauchy列の収束先は各項の収束を利用して存在を示す。収束先が $l^ p$ に含まれる証明は、収束先とCauchy列中の点の差が $l^ p$ に含まれることを利用。

例2.4. ( $l^ {\infty}$ )

有界な実数列 $x=\{ \xi _ i \}$ に対し、 $||x|| = \sup _ {x} |\xi _ i|$ でノルムを定義。これはBanach空間になる。

Jensenの不等式 $(\sum^ {n} _ {i=1}|\xi _ i|^ q)^ {1/q} \leq (\sum^ {n} _ {i=1}|\xi _ i|^ p)^ {1/p} (0\lt p \leq q\lt \infty)$ より、 $(l^ q) \subset (l^ p) \subset (c) \subset (l^ \infty)$

2.2. 関数空間

例2.5 （空間 $C[a,b$ ]）

有界閉区間 $[a,b$ ]で定義された実数値連続関数の全体。実線形空間にできる。数列空間の連続バージョン。

ノルムを上限で定義すると実Banach空間になる。数列空間と証明の戦略は基本的には変わらない。閉区間なのは上限の存在を保証するため。

例2.6. (空間 $L^ p (a,b) 1 \leq p \lt \infty$ )

区間 $(a,b)$ において定義された可測関数 $x(t)$ が、

$\int^ {b} _ {a} |x(t)|^ p dt \lt \infty$

を満たすとき、p乗Lebesgue積分可能という。このような関数全体の集合はノルムを $||x|| = (\int^ {b} _ {a} |x(t)|^ p dt)^ {1/p}$ とするとBanach空間になる。これも連続版のMinkowskiの不等式等を通じて示すことができる。Cauchy列の収束先がp乗Lebesgue積分可能であることはFatouの補題、優収束定理で示す。関数の極限を取ったときの操作のしやすさがLebesgue積分のよいところである。