群論入門② 環・体の定義

群論入門①の続き。この雪江先生の本は群論入門とあるが代数学を一通り学ぶためのシリーズの一つということで環や体の定義も出てくるらしい。

定義 1.2.1 (環)
集合Rに二つの演算+と×が定義され、以下の性質を満たすとき、Rを環(ring)と呼ぶ。a×bは便宜上abと記す。
(1) +に関してRはアーベル群である。
(2) ×に関して結合法則が成り立つ。
(3) +と×の間に分配法則が成り立つ。すなわち∀a,∀b,∀c∈Rに対し
a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc
(4) ×に関して単位元が存在する。すなわち、∃e∈R s.t. ∀a∈R, ae=ea=a, このようなeを1Rなどと記す。

要するに+に関してアーベル群、×に関してモノイド、そして+と×の間に分配法則という関係が成り立つということである。環は整数を一般化したものと言われ、素数など整数論上重要なものを一般化した概念がよく出てくる。実際ℤは環である。
さらに×に関して可換則が成立すれば可換環である。また、×に関して逆元が存在するような元を単元という。環の単元全体の集合をとってくればこれは×に関して群をなしており、しれを乗法群という。
環の例には自明な環というものがあり、{0}は環になる。+の単位元と×の単位元が一致する唯一の環である。証明は、+の単位元とxの単位元が一致すると仮定し、∀a∈Rに対して、a0=a(0+0)=a0+a0よりa0=0a=0が成立すると示し、さらに×の単位元の性質からa0=aが示せるので、Rの任意の元が0であることが示せる。逆は明らかである。

定義 1.2.2（体）
集合Kが環であり、以下の性質を満たすとき、K(field)を体という。
(1) Kの0以外の元は単元である。
(2) ×に関して可換である。
(2)が成立しないようなものを斜体という。

ℚ,ℝ,ℂは体である。

また、環ℤ/nℤの定義などがしてある。

全体としてさらっとしていて、次からまた群の話題に戻るので本当に顔見せ程度のようだ。