宮寺関数解析を読む④ 一様有界性、開写像、閉グラフ定理

いよいよ有名定理が出て来て最初の山場に入ってきたことを感じる。

一様有界性、開写像、閉グラフ定理

4.1. 一様有界性定理

Baireのカテゴリー定理から入る

Baireのカテゴリー定理

$X$ を完備な距離空間とする。 $X$ の可算個の閉部分集合 $X _ 1, X _ 2, ... ,X _ n, ...$ が $X$ を覆っているとき、少なくとも一つの $X _ n$ は $X$ の開球を含む。

証明の方針

背理法でスタート。 $X _ n$ のどれにも含まれない点に収束する点列を構成することができる。

開球を含まないレベルの小さすぎる閉部分集合可算個だけでは、完備な距離空間を覆いつくすのは不可能ということだろう。

それでは次に一様有界性定理のに入ろう。

定理 4.1.

$A$ を無限集合とする。 $T _ a, a \in A$ がBanach空間 $X$ からノルム空間 $Y$ への有界線形作用素とする。このとき

$\forall x \in X:\sup _ {a \in A} ||T _ a x|| \lt \infty \Rightarrow \sup _ {a \in A} ||T _ a|| \lt \infty$

証明の方針

$T _ a$ をおさえる定数をBaireのカテゴリー定理を適用できる集合族を構成することで示す。 $X _ n = \{x \in X : \sup _ {a \in A} ||T _ n x|| \leq n \}$ とするとよい。

作用素族について、各点で有界ならノルムも有界

定理 4.2.

$T _ n, n=1,2,...$ はBanach空間 $X$ からノルム空間 $Y$ への有界線形作用素の列とする。すべての $x \in X$ に対して $\lim _ {n \rightarrow \infty} T _ n x$ が存在すれば、 $\{||T _ n||\}$ は有界数列でかつ、 $Tx = \lim _ {n \rightarrow \infty} T _ n x$ とおくと、 $T$ はXからYへの有界線形作用素で

$|T|| \leq \liminf _ {n \rightarrow \infty} ||T _ n|| (x \in X)$

証明の方針

前段は一様有界性定理より明らか。後段については

$||Tx|| = \lim _ {n \rightarrow \infty}||T _ n x|| \leq (\liminf _ {n \rightarrow \infty}||T _ n||)||x||$ を利用。（前半の等式は三角不等式とかで $||Tx||-||T _ n x||$ を評価してあげたりして示す）

定理 4.3. Banach-Steinhausの定理

$T _ n, n=1,2,...$ をBanach空間 $X$ からBanach空間 $Y$ への有界線形作用素の例とし、 $X _ 0$ を $X$ の稠密な部分集合とする。 $\sup _ n ||T _ n x|| \lt \infty (x \in X)$ かつ各 $x \in X _ 0$ に対して $\lim _ {n \to \infty} T _ n x$ が存在すれば次の1,2が成立する。

全ての $x \in X$ に対して $\lim _ {n \to \infty} T _ n x$ が存在する。
$T x = \lim _ {n \to \infty} T _ n x (x \in X)$ とおくと、 $T$ は $X$ から $Y$ への有界線形作用素で、 $|T|| \leq \liminf _ {n \rightarrow \infty} ||T _ n|| (x \in X)$ が成立。

証明の方針

1について一様有界性定理から、 $||T _ n||$ の数列はある定数でおさえられる。稠密性から、 $x \in X$ において、 $T _ n x$ がCauchy列であることを示して、 $Y$ Banach空間であることを利用する。

次は開写像定理にいこう。

4.2. 開写像定理

補助定理4.4.

$T$ をBanach空間 $X$ からノルム空間 $Y$ への有界線形作用素とする。 $X$ の単位球 $S _ X (0,1)=\{x\in X : ||x|| \lt 1 \}$ の $T$ による像 $TS _ X (0,1)$ の閉包が $Y$ のある原点中心の開球 $S _ Y (0,r) (r \gt 0)$ を含むならば、 $TS _ X (0,1) \supset S _ Y (0,r)$ である。

証明の方針

$S _ X (0,1+\epsilon)$ の点 $x$ で $y \in S _ Y (0,r)$ に関し $y=Tx$ を満たすようなものを数列の極限として構成できる。

定理 4.5. 開写像定理

$X,Y$ をBanach空間とする。 $T$ が $X$ から $Y$ の上への有界線形作用素ならば、 $X$ の任意の開集合 $G$ の $T$ による像 $TG$ は $Y$ の開集合である。

証明の方針

$\forall \rho, \exists \rho' {\rm s.t. } TS _ X (0, \rho) \supset S _ Y (0,\rho')$ を示す。Baireのカテゴリー定理も使う。

Banach空間からBanach空間への有界線形作用素は開集合を開集合に移す。

定理 4.6.

$X,Y$ をBanach空間とする。 $T$ が $X$ から $Y$ への1対1、かつ上への有界線形作用素であるならば、逆作用素 $T^ {-1}$ は $Y$ から $X$ への有界線形作用素である。

証明の方針

開写像定理を使う。連続作用素と有界作用素の同値性を思い出そう。

4.3. 閉作用素

定義4.1.

$X,Y$ をともにノルム空間とし、 $x \in X, y \in Y$ の対 $[x,y$ ]の全体 $\{[x,y$ : x \in X, y \in Y\}]に線形演算とノルムを導入できて、ノルム空間にできる。（ $||[x,y$ || = ||x||+||y||]）これを $X$ と $Y$ の直積空間といい、 $X \times Y$ と書く。 $X,Y$ がBanach空間ならば、 $X \times Y$ もBanach空間。