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宮寺関数解析を読む① Banach空間

関数解析

解析学の基礎体力が不足しているので、ゆっくりと復習していく。

宮寺関数解析

目標：関数解析の復習

第1章 Banach空間

☍1. Banach（バナッハ）空間の定義

1.1. 線形空間

定義 1.1. 線形空間

まずはお馴染みの線形空間の定義について復習。

要点は下記の二つ。

集合 $X$ が $+$ に関してアーベル群になっている。
複素数体や実数体 $\Phi$ の元と $X$ の元の積（スカラー倍）が定義されており、 $\forall \alpha , \beta \in \Phi$ 、 $\forall x, y \in X$ に関して以下が成り立つ。
$1x = x$
$(\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$
$\alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y, (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta y$

定義 1.2.

線形空間 $X$ の空でない部分集合が、和とスカラー倍に関して閉じているときに、線形部分空間という。

定義 1.3.

$S$ を $X$ の空でない部分集合として、 $S$ の任意有限個の元の一次結合全体の集合を $S$ によって張られる線形部分空間という。

定義 1.4.

一次従属、一次独立。

定義 1.5.

線形空間 $X$ において、任意の自然数 $n$ に対して $n$ 個の一次独立な元が存在するとき、 $X$ は無限次元であるといい、そうでないとき有限次元であるという。

$X$ が有限次元で $0$ 以外の元を持つのであれば、次の条件を満足する自然数 $n$ が存在する。

$X$ の中に一次独立な $n$ 個の元が存在し、かつ $X$ のいかなる $n+1$ 個の元も一次従属である。

この $n$ を $X$ の次元という。

${0}$ で表される線形空間は $0$ 次元とする

1.2. Banach空間

関数解析ではノルムという概念が中心的な役割を果たすが、Banach空間はそのノルムから定まる距離に関して完備性を満たすものである。

定義1.6. ノルム空間

線形空間 $X$ の各元 $x$ に関して実数 $||x||$ が対応し、以下の三つの条件を満足するとき、 $||x||$ を $x$ のノルムといい、 $X$ をノルム空間という。 $\forall x,y \in X$ , $\forall \alpha \in \Phi$

$||x|| \geq 0, ||x||=0 \leftrightarrow x=0$
$||\alpha x|| = |\alpha | ||x||$
$||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$

$d(x,y) = ||x-y||$ とすれば、これは距離の公理を満たす。

ここから、収束、極限などの概念がノルム空間に導入される。

その後集積点、閉包、閉集合、 $\epsilon$ 近傍、開球、閉球、開集合などの位相的な概念を導入。

$X_1 \subset X_0 \subset X$ とする。 $X_1$ の閉包が $X_0$ を含むとき、 $X_0$ は $X_1$ において稠密であるという。 $X$ が稠密な可算部分集合をもつとき、 $X$ は可分という。

ノルム空間の部分集合でノルムの上限が有界であるような集合は有界であるという。

定理1.1.

基本的な極限に関する性質。

定義 1.8.

ノルム空間の線形部分空間は元のノルムに関してノルム空間になっている。線形部分空間かつ閉集合であるものを閉線形部分空間という。

定理 1.2.

$M$ をノルム空間 $X$ の線形部分空間とすると、 $M$ の閉包 $\bar{M}$ は閉線形部分空間。

証明

$\bar{M}$ は閉集合線形部分空間であることを示せばよい。定理1.1.の極限の性質を活用。

定義 1.9.

張られる閉線形部分空間

定義 1.10.

Cauchy点列

$\lim_{m,n \to \infty}||x_m - x_n||=0$ を満たす点列。

定義 1.11. Banach空間

ノルム空間 $X$ において、任意のCauchy点列が $X$ の点に収束するとき、 $X$ は完備であるという。完備なノルム空間のことをBanach空間という。

次回：

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