Bioinformathematics

宮寺関数解析を読む⑤ 線形汎関数

関数解析

演習問題もやっていかないといけないな。

☍5 線形汎関数

5.1　線形汎関数の定義

定義 5.1.

線形汎関数は線形空間から係数体への線形作用素。

連続、有界などの定義もそのまま輸入できる。

定理 5.1.

$f$ をノルム空間 $X$ で定義された線形汎関数とする。以下の三つは同値。

$f$ はある一点で連続。
$f$ は連続。
$f$ は有界。

証明の方針

定理 3.2.より従う。

さらに $|f(x)| \leq ||f|| ||x|| (x \in X)$ や $||f||=\sup _ {||x|| \leq x} |f(x)|$ も成立。

5.2. 幾何学的性質

線形汎関数の幾何学的性質を調べる。線形空間 $X$ で定義された線形汎関数 $f$ に対して、

$N _ {f} = \{x \in X: f(x)=0 \}$

これは $X$ の線形部分空間。

定理5.2.

$X$ を線形空間とする。

$f$ は $X$ で定義された線形汎関数で、恒等的に $0$ でないものとする。 $x _ 0 \in N _ f$ とすると、任意の元 $x \in X$ は $x = z + \alpha x _ 0 (z \in N _ {f}, \alpha \in \Phi)$ という形で一意に表せる。
逆に $N$ を $X$ 自身ではない $X$ の線形部分空間とし、 $x _ 0$ は $N$ に含まれていないとする。任意の元 $x \in X$ は $x = z + \alpha x _ 0 (z \in N, \alpha \in \Phi)$ という形で一意に表せるとき、 $N _ f = N$ となるような線形汎関数が存在。

証明の方針

1について、 $z,\alpha$ を構成するのは難しくない。一意性は二つの $z, \alpha$ を等号で結んで $f$ を作用されたりすれば分かる。

2については、 $f(x)= \alpha _ x$ とおけば線形汎関数になっている。

$N _ f + x _ 0$ を超平面と呼称。 $\{x \in X: f(x)=f(x _ 0 ) \}$ と表せる。

定理 5.3.

$f$ はノルム空間 $X$ で定義された線形汎関数とする。 $f$ が有界であるための必要十分条件は、 $N _ f = \{ x \in X:f(x)=0 \}$ が閉集合となることである。

証明の方針

$\Rightarrow$ は有界と連続が同値であることを使うとよい。 $\Leftarrow$ は超平面を使う。

定理5.4.

$f$ はノルム空間 $X$ で定義された有界線形汎関数であり、恒等的に $0$ でないとする。 $M _ f = \{ x \in X: f(x) = 1 \}$ とおき、原点 $0$ とこの超平面 $M _ f$ との距離を $d$ とすると、

$||f||= 1/d$

証明の方針

定理5.3.で使った論法と同様。

系5.5.

$X$ はノルム空間とする。

$M$ が $X$ の閉線形部分空間ならば、任意の $x _ 0 \in X$ に対して $\{ z+\alpha x _ 0 : z \in M, \alpha \in \Phi \}$ も $X$ の閉線形部分空間。
$M$ が $X$ の閉線形部分空間、 $V$ が $X$ の線形部分空間でかつ有限次元ならば、 $M+V = \{ z+v:z \in M, v \in V \}$ は $X$ の閉線形部分空間。

証明の方針

1について、 $z+\alpha x _ 0$ と表すと、 $z$ も $\alpha$ もCauchy列が収束する集合に属することに注意。

2については1と同じ論法で帰納法。

このあたりで線形代数を思い出す。

5.3. 線形汎関数の例

例5.1.

$\{ \eta _ n : n=0,1,2,... \} \in l$ に対し

$f(x)=\xi _ 0 \eta _ 0 + \sum _ {i=1}^ {\infty} \xi _ {i} \eta _ {i}$

$(x = \{ \xi _ n \} \in (c), \xi _ 0 = \lim _ {n \to \infty} \xi _ n)$

は有界線形汎関数。

例5.2.

$l _ p , l _ q$ についても例5.1.と同様に定義可能。

例5.3., 5.4.

連続バージョンも同様。（積分はRiemann-Stieltjes式）